Cum se calculează lungimile medianelor unui triunghi, având lungimile celor trei laturi

• Medianele într-un triunghi

• Definiție: O mediană a unui triunghi este un segment de dreaptă care leagă un vârf al triunghiului de punctul de mijloc al laturii opuse.
• Fiecare triunghi are trei mediane care se întâlnesc într-un singur punct central, numit centroid.
• 

  Cele trei mediane ale triunghiului

• În triunghiul △ABC m_a este mediana care leagă vârful A de mijlocul laturii BC, m_b este mediana care leagă vârful B de mijlocul laturii AC și m_c este mediana care leagă vârful C de mijlocul laturii AB Toate medianele se intersectează în punctul G, centroidul.
• Punctul G împarte lungimile celor trei mediane astfel:

• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• Teorema lui Apollonius

• Într-un triunghi △ABC, pentru care se cunosc lungimile laturilor „a”, „b” și „c”, având vârfurile opuse A, B și respectiv C, există o relație între lungimile laturilor și lungimile medianelor m_a, m_b și m_c, unde m_a este trasată din vârful A la latura „a”, m_b este trasată din vârful B la latura „b”, iar m_c din vârful C la latura „c”:

• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²
• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²
• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²

» Teorema lui Apollonius și medianele într-un triunghi. Formulă. Demonstrație

• Exemplul nr. 1

• Două dintre cele trei mediane ar trebui să fie egale într-un triunghi isoscel. Să calculăm aceste trei mediane m_a, m_b și m_c și să vedem dacă două dintre ele sunt egale sau nu. Lungimile laturilor sunt date astfel: a = 10, b = 6 și c = 10.
• Aplicăm teorema lui Apolloniu și aflăm medianele:

Putem vedea că două dintre mediane sunt egale, cele corespunzătoare laturilor congruente a și c, m_a ≅ m_c

• Exemplul nr. 2

• Lungimea unei mediane într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30 de grade, corespunzătoare ipotenuzei, ar trebui să fie jumătate din lungimea ipotenuzei. Lungimile laturilor în acest triunghi sunt date astfel: a = 10 (ipotenuza), b = 5 și c = 8,66025. Să calculăm mediana m_a a acestui triunghi dreptunghic, corespunzătoare ipotenuzei, și să verificăm regula menționată.
• Aplicăm teorema lui Apolloniu și aflăm medianele:

Putem observa că lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei, m_a, este jumătate din lungimea ipotenuzei.

• Exemplul nr. 3:

• Să calculăm medianele m_a, m_b și m_c ale unui triunghi dacă sunt date toate lungimile laturilor: a = 10, b = 6 și c = 10.
• Aplicăm teorema lui Apolloniu și aflăm medianele: