Cum se găsește centrul cercului înscris într-un triunghi
Învață să găsești centrul cercului înscris într-un triunghi. Bisectoarele unghiurilor triunghiului
Bisectoarele unghiurilor unui triunghi. Centrul cercului înscris
Ce este bisectoarea unui unghi?
- Bisectoarea unui unghi este segment de dreaptă în interiorul unghiului, cu originea la vârf, care formează cu laturile unghiului două unghiuri mai mici, congruente între ele.
- Important: Orice punct aparținând bisectoarei este echidistant de ambele laturi ale unghiului.
Bisectoarea unui unghi
Cum se găsește centrul cercului înscris într-un triunghi?
- În orice triunghi, bisectoarele unghiurilor se intersectează exact în același punct, care este centrul cercului tangent la laturile triunghiului, numit cerc înscris în triunghi. Acesta este cel mai mare cerc care poate "intra" în interiorul triunghiului.
Bisectoarele și cercul înscris în triunghi
- În triunghiul △ABC:
- AA' este bisectoarea unghiului ∠BAC => ∠BAA' = ∠CAA' = ∠BAC / 2
- BB' este bisectoarea unghiului ∠ABC => ∠ABB' = ∠CBB' = ∠ABC / 2
- CC' este bisectoarea unghiului ∠ACB => ∠ACC' = ∠BCC' = ∠ACB / 2
Bisectoarele AA', BB' și CC' se intersectează în punctul O, care este centrul cercului înscris în triunghi.
De ce punctul de intersecție al bisectoarelor este centrul cercului înscris în triunghi?
- O este un punct pe bisectoarea AA' deci este echidistant de segmentele de dreaptă AB și AC =>
- [1] distanța de la punctul O la segmentul AB este OP, unde OP ⊥ AB (⊥ este simbolul pentru segmente perpendiculare);
- [2] distanța de la punctul O la segmentul AC este ON, unde ON ⊥ AC;
- [3] OP ≅ ON.
- O este un punct pe bisectoarea BB' deci este echidistant de segmentele de dreapta AB și BC =>
- [1] distanța de la punctul O la segmentul AB este OP, unde OP ⊥ AB;
- [2] distanța de la punctul O până la segmentul BC este OM, unde OM ⊥ BC;
- [3] OP ≅ OM.
- Din relațiile de mai sus rezultă că OP ⊥ AB, OM ⊥ BC, ON ⊥ AC și OM = ON = OP = r, unde r este raza cercului înscris în triunghi.
- Note:
- Un cerc înscris într-un triunghi este cel mai mare cerc care poate fi desenat în interiorul unui triunghi, astfel încât să fie tangent la toate cele trei laturi ale acestuia.
- Un cerc este tangent la o dreaptă atunci când dreapta și cercul au exact un singur punct comun. Segmentul format din centrul cercului și punctul de contact cu dreapta este perpendicular pe dreaptă.