Teorema sinusurilor într-un triunghi, demonstrație pe cercul circumscris

• Teorema sinusurilor

• Teorema sinusurilor afirmă că pentru orice triunghi △ABC cu laturile BC = a, AC = b, și AB = c și unghiurile ∠A, ∠B și ∠C, raportul dintre lungimea oricărei laturi și sinusul unghiului opus ei este constant și egal cu diametrul cercului circumscris triunghiului:

• ^a / _sin(∡A) = ^b / _sin(∡B) = ^c / _sin(∡C) = 2 × R
• Unde:
• a, b și c sunt lungimile celor trei laturi
• ∡A, ∡B și ∡C sunt măsurile celor trei unghiuri
• ∠A este unghiul opus laturii a
• ∠B este unghiul opus laturii b
• ∠C este unghiul opus laturii c
• R este raza cercului circumscris triunghiului △ABC
• 2 × R = diametrul cercului circumscris

• Demonstrația legii sinusurilor folosind cercul circumscris

• Pornim de la triunghiul menționat mai sus △ABC și construim cercul său circumscris: desenăm un cerc care trece prin toate cele trei vârfuri A, B și C ale triunghiului, cu raza R și centrul O.

» Cum se găsește centrul cercului circumscris unui triunghi

• 

  Triunghiul △ABC și cercul circumscris

• Prin vârful C (la fel de bine putea fi A sau B) trasăm segmenul de dreaptă CD, care intersectează cercul circumscris în punctul D și trece prin centrul O al cercului, fiind astfel și diametru al cercului, CD = 2 × R.
• Teoremă unghiului înscris în cerc: Măsura unui unghi înscris în cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.
• Triunghiul nou creat, △BDC este un triunghi dreptunghic, pentru că măsura unghiului ∡DBC = 90°, fiind jumătate din măsura arcului de cerc, care este de 180 de grade. (CD diametru)

m(∡DBC) = 90°

În triunghiul dreptunghic △BDC avem relația trigonometrică:

sin(∡D) = ^BC/_CD = ^a/_{(2 × R)}

Dar unghiurile ∠D și ∠A sunt congruente, ele fiind două unghiuri înscrise în același cerc și măsurile lor fiind egale cu jumătate din lungimea aceluiași arc de cerc (BC):

∠D ≅ ∠A

Asta înseamnă că sinusurile calculate din cele două unghiuri congruente ∠D și ∠A sunt egale la rândul lor:

sin(∡D) = sin(∡A)

Înlocuiește sin(∡D) în relația trigonometrică din triunghiul dreptunghic △BDC:

• sin(∡D) = ^a/_{(2 × R)}
• sin(∡A) = ^a/_{(2 × R)}
• Scriem expresia în funcție de 2 × R
• 2 × R = ^a / _sin(∡A)

Repetând logica de mai sus de încă două ori, pentru laturile b și c, se va vedea că toate cele trei rapoarte sunt egale cu exact aceeași valoare, 2 × R:

^a / _sin(∡A) = ^b / _sin(∡B) = ^c / _sin(∡C) = 2 × R

• Exemplu de calcul

• Într-un triunghi △ABC se dau măsurile a două unghiuri, m(∡A) = 45° și m(∡B) = 30°, iar lungimea laturii BC (a) = 10. Se cere să calculăm lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului.
• Calculăm valoarea constantă a raportului (2 × R) dintre lungimea laturii „a” și sinusul unghiului ∠A:

Aplicăm teorema sinusurilor pentru latura "b" și unghiul ∠B și aflăm "b":

Calculăm măsura unghiului ∠C știind că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180°:

Aplicăm teorema sinusurilor pentru latura "c" și unghiul ∠C și aflăm "c":