Rezolvă triunghiul dreptunghic știind lungimile celor trei laturi: 6, 8, 10. Calculator triunghi: unghiuri, aria, (semi)perimetru, înălțimi, mediane, raze cercuri

• Triunghiul dat este rezolvat mai jos pas cu pas, cu explicații complete despre formulele folosite, cu explicarea termenilor folosiți și cu imagini ilustrative.
• La final, toate datele calculate ale triunghiului sunt sumarizate într-o singură secțiune.
• Ordinea pașilor rezolvării triunghiului: 1) calculare perimetru, 2) semiperimetru, 3) măsuri unghiuri, 4) arie - calculată prin două metode, 5) lungimile celor trei înălțimi din triunghi, 6) lungimile celor trei mediane ale triunghiului, 7) raza cercului înscris în triunghi și 8) raza cercului circumscris triunghiului.

Special case. Triunghi dreptunghic

• Acesta este un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii uneia dintre laturi, ipotenuza, este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi, a catetelor (teorema lui Pitagora).
• 10² = 6² + 8² <=> c² = a² + b²
• c - ipotenuză; a - catetă; b - catetă.
• Într-un triunghi dreptunghic măsura unghiului opus ipotenuzei este de 90°.
• c - ipotenuză => ∡C = 90°

Aceste formule sunt derivate direct, și o rearanjare pentru unghiuri, din Teorema Cosinusului (sau teorema lui Pitagora generalizată).

• m(∡A) = arccos(^{(b2 + c2 - a2)} / _{(2 × b × c)})
• m(∡B) = arccos(^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)})
• m(∡C) = arccos(^{(a2 + b2 - c2)} / _{(2 × a × b)})
• Unde:
• a = latura triunghiului opusă unghiului ∠A
• b = latura triunghiului opusă unghiului ∠B
• c = latura triunghiului opusă unghiului ∠C

• De ce această formulă? Demonstrația Teoremei Cosinusului

• Într-un triunghi △ABC oarecare, care nu este dreptunghic, cu lungimile laturilor BC = a, AC = b și AB = c, ducem din vârful A perpendiculara pe latura BC, care intersectează BC în punctul D. Notăm lungimile laturilor AD = h_a, BD = a1 și CD = a2, unde a1 + a2 = a.
• 

  Demonstrația Teoremei Cosinusului

• În triunghiul dreptunghic △ABD avem următoarele relații trigonometrice:
• sin(∠B) = ^h_a/_c => h_a = c × sin(∠B)
• cos(∠B) = ^a1/_c => a1 = c × cos(∠B)
• În triunghiul dreptunghic △ADC aplicăm Teorema lui Pitagora:
• b² = h_a² + a2² <=>
• b² = h_a² + (a - a1)²

• ---

• Înlocuim în formula de mai sus pe h_a și a1:
• b² = c² × sin²(∠B) + (a - c × cos(∠B))² <=>
• b² = c² × sin²(∠B) + a² - 2 × a × c × cos(∠B) + c² × cos²(∠B) <=>
• b² = c² × (sin²(∠B) + cos²(∠B)) + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
• b² = c² × (^h_a2/_c² + ^a12/_c²) + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
• b² = c² × ^{(h_a2 + a12)}/_c² + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>

• ---

• În triunghiul dreptunghic △ABD h_a² + a1² = c² (Teorema lui Pitagora) =>
• ^{(h_a2 + a12)}/_c² = 1 =>

• ---

• b² = c² + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
• cos(∠B) = ^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)}
• Aplicăm funcția arccos ambelor părți ale egalității:
• arccos(cos(∠B)) = arccos(^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)}) =>
• m(∡B) = arccos(^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)})
• Același proces este folosit pentru a calcula măsurile unghiurilor ∠A și ∠C

• Ultimele trei definiții: π. Radiani. Grade

• Definiţie: π reprezintă raportul constant dintre circumferința (lungimea) unui cerc, C, și diametrul acestuia, d (d = 2 × r, unde r este raza cercului), care este aproximativ 3,14159, estimat de obicei ca fracția ²²/₇.
  π = ^C/_d = ^C/_{(2 × r)}
• 

  Măsurarea unghiului: π. Radiani. Grade

• Definiţie: Un radian este o unitate standard de măsură a unghiului. Un radian este egal cu acel unghi format atunci când lungimea arcului de cerc este egală cu raza aceluiași cerc. Sunt exact 2π radiani în circumferința (lungimea) unui cerc (a oricărui cerc). 1 radian este aproximativ 57,296° (grade). Un unghi de 360° = 2π radiani, 180° = π radiani, 90° = ^π/₂ radiani, 45° = ^π/₄ radiani.
• Definiţie: În mod obișnuit unghiurile se măsoară în grade (°). Un grad este o unitate standard de măsură a unghiului. Unghiul format de un cerc complet este de 360°. Un unghi obtuz are între (90° și 180°). Un unghi drept are 90°. Un unghi ascuțit are între (0° și 90°).

• ∡A = 36.869897645844°
• ∡B = 53.130102354156°
• ∡C = 90°

• Această metodă presupune mai mulți pași pentru a ajunge la rezultat decât a doua metodă.
• În teorie, ambele formule de calcul vor ajunge la exact același rezultat. Dar în practică, atunci când se folosesc instrumente de calcul ce implică rotunjiri și aproximări, este mai bine să folosești metoda de calcul ce implică mai puțini pași, și mai puține aproximări.
• Această metodă este prezentată aici în scop demonstrativ, vom calcula aria folosind a doua metodă, ce implică mai puțini pași și mai puține aproximări.

• Formula clasică:

• Aria = ¹/₂ × a × h_a
• Unde:
• a = latura triunghiului opusă unghiului ∠A
• h_a = înălțimea AD din vârful A pe latura "a" (BC), unde D aparține dreptei ce conține segmentul BC.
• 

  Înălțimea h_a exprimată în funcție de latura "b" și de sinusul unghiului C

• == Dar nu știm înălțimea h_a. Cum procedăm? ==
• Folosind trigonometria, în triunghiul △ADC dreptunghic în D, obținut la dreapta înălțimii h_a:
• sin(∠C) = ^h_a / _b
• Rezultă că h_a = b × sin(∠C).
• Înlocuim înălțimea h_a în formula clasica a ariei și obținem:

• Formula trigonometrică:

• Aria = ¹/₂ × a × b × sin(∠C)

Notă: Aria va fi calculată folosind a 2-a metodă, care implică mai puțini pași și aproximări.

• Formula lui Heron

• Știind lungimile celor trei laturi ale sale, aria unui triunghi poate fi calculată folosind Formula lui Heron:
• Aria² = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
• Unde:
• a, b și c sunt lungimile celor trei laturi ale triunghiului
• s este semiperimetrul triunghiului, deja calculat mai sus

• Demonstrația formulei lui Heron folosind Teorema lui Pitagora

• Se consideră un triunghi △ABC cu laturile sale BC = a, AC = b și AB = c. Desenăm înălțimea din vârful A, opus laturii „a”, AD ⊥ BC, D ∈ BC, AD = h, ce împarte baza „a” în două segmente, BD = x și CD = a - x.
• 

  Triunghiul △ABC pentru formula lui Heron

• Aplicăm teorema lui Pitagora triunghiului dreptunghic △ADB:
• h² + x² = c² =>
• h² = c² - x²
• Aplicăm teorema lui Pitagora triunghiului dreptunghic △ADC:
• h² + (a - x)² = b² =>
• h² = b² - (a - x)²
• Echivalăm cele două expresii după h² și aflăm segmentul "x":
• c² - x² = b² - (a - x)² <=>
• c² - x² = b² - (a² - 2 × a × x + x²) <=>
• c² - x² = b² - a² + 2 × a × x - x² <=>
• c² = b² - a² + 2 × a × x <=>
• 2 × a × x = a² + c² - b² <=>
• x = ^{(a2 + c2 - b2)}/_{(2 × a)}
• Înlocuim "x” înapoi în formula lui h² și calculăm înălțimea "h”:
• h² = c² - x² <=>
• h² = c² - (^{(a2 + c2 - b2)}/_{(2 × a)})²
• Descompunem expresia în factori utilizând regula diferenței pătratelor, c² - x² = (c - x) × (c + x):
• h² = ^{((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2)} / _{(2 × a)})² <=>
• h² = ^{(2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)} / _{(2 × a)²}
• Înlocuim h² în Formula Ariei:
• Aria = ¹/₂ × a × h => Aria² = ¹/₄ × a² × h² =>
• Aria² = ¹/₄ × a² × ^{(a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)} / _{(4 × a²)} <=>
• [1] Aria² = ¹/₁₆ × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)
• Folosim semiperimetrul s = ^{(a + b + c)}/₂ pentru a exprima factorii formulei [1] de mai sus:
• => a + b + c = 2 × s
• => b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
• => a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
• => a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)
• Rescriem formula [1]:
• Aria² = ¹/_2⁴ × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c) <=>
• Aria² = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - Formula lui Heron

Aria = 24 unități la pătrat

• Definiţie: Înălțimea unui triunghi este un segment de dreaptă trasat de la un vârf, perpendicular (la un unghi de 90 de grade) pe latura opusă. Fiecare triunghi are trei înălțimi. Toate cele trei înălțimi se intersectează întotdeauna într-un singur punct, care se numește ortocentru.
• 

  Cele trei înălțimi ale triunghiului

• În triunghiul △ABC h_a este înâlțimea ce pleaca din vârful A, perpendiculară pe latura BC. h_b este înâlțimea ce pleaca din vârful B, perpendiculară pe latura AC. h_c pleaca din vârful C, perpendiculară pe latura AB. Ele se intersectează toate în punctul H, ortocentrul.

• ---

• Cunoscând aria și laturile triunghiului, putem calcula înălțimile h_a, h_b și h_c din vârfurile A, B și C pe laturile a, b și, respectiv, c.
• Pornind de la formula clasică a ariei:
• Aria = ¹/₂ × a × h_a =>
• h_a = ^{2 × Aria} / _a = 8
• Aria = ¹/₂ × b × h_b =>
• h_b = ^{2 × Aria} / _b = 6
• Aria = ¹/₂ × c × h_c =>
• h_c = ^{2 × Aria} / _c = 4,8

• Definiţie: Mediana unui triunghi este un segment de linie care leagă un vârf al triunghiului de punctul de mijloc al laturii opuse. Fiecare triunghi are trei mediane care se intersectează într-un singur punct central, numit centru de greutate.
• 

  Cele trei mediane ale triunghiului

• În triunghiul △ABC m_a este mediana ce leagă vârful A de mijlocul laturii BC, m_b este mediana ce leagă vârful B de mijlocul laturii AC. iar m_c este mediana ce leagă vârful C de mijlocul laturii AB. Ele se intersectează toate în punctul G, centrul de greutate.
• Centrul de greutate G împarte lungimile celor trei mediane astfel:
• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• Teorema lui Appolonius, numită și Teorema Medianei

• == Demonstrația teoremei lui Apollonius la sfârșitul secțiunii. ==
• Într-un triunghi △ABC, în care se știu lungimile laturilor "a", "b" și "c", opuse vârfurilor A, B și respectiv C, există relația între lungimile laturilor și lungimile medianelor m_a, m_b și m_c, unde m_a este mediana din vârful A ce intersectează latura "a", m_b din vârful B ce intersectează latura "b", iar m_c din vârful C intersectează latura "c":
• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²= 73 =>
• Mediana m_a ≈ 8,544003745318 ≈ 8,54

• ---

• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²= 52 =>
• Mediana m_b ≈ 7,211102550928 ≈ 7,21

• ---

• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²= 25 =>
• Mediana m_c = 5

• ---

• Demonstrația teoremei lui Apollonius

• Demonstrăm teorema lui Apollonius folosind teorema cosinusului, pe care am demonstrat-o mai sus, atunci când am calculat măsurile unghiurilor.
• 

  Cele trei mediane ale triunghiului

• Fie mediana AM, de lungime m_a, împarte latura BC, de lungime „a”, în două părți egale, de lungime BM = CM = ^a/₂. De asemenea AB = c, AC = b, BC = a.
• Fie măsura unghiului ∡AMB = θ. Deoarece suma a două unghiuri pe o linie dreaptă este de 180°, atunci unghiul adiacent ∡AMC = 180° - θ.
• => cos(180° - θ) = - cos(θ)
• Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul △ABM, asigurându-ne că includem și unghiul ∡AMB = θ în formulă:
• c² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(θ) =>
• [1] c² = m_a² + (^a/₂)² - m_a × a × cos(θ)
• Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul △ACM, asigurându-ne că includem și unghiul ∡AMC = 180° - θ în formulă:
• b² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(180° - θ)
• cos(180° - θ) = - cos(θ)
• Relația de mai sus devine:
• [2] b² = m_a² + (^a/₂)² + m_a × a × cos(θ)
• Adună cele două ecuații [1] și [2] împreună. Termenii m_a × a × cos(θ) and - m_a × a × cos(θ) se anulează reciproc:
• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²)

• Intro

• Bisectoarea unui unghi este o semidreaptă interioară unghiului, cu originea în vârful acestuia, care formează cu laturile unghiului două unghiuri congruente mai mici. Orice punct ce aparține bisectoarei se află la egală distanță față de laturile unghiului.
• 

  Bisectoarea unui unghi

• În orice triunghi bisectoarele unghiurilor sunt concurente într-un punct care este centrul cercului tangent laturilor triunghiului, numit cerc înscris în triunghi. Acesta este cel mai mare cerc care "încape" în interiorul triunghiului.
• 

  Bisectoarele și cercul înscris în triunghi

• În triunghiul △ABC, AA' este bisectoarea unghiului ∠BAC => ∠BAA' = ∠CAA' = ^∠BAC / ₂
• BB' este bisectoarea unghiului ∠ABC => ∠ABB' = ∠CBB' = ^∠ABC / ₂
• CC' este bisectoarea unghiului ∠ACB => ∠ACC' = ∠BCC' = ^∠ACB / ₂

• ---

• Bisectoarele AA', BB' și CC' se intersectează în punctul O, care este centrul cercului înscris în triunghi. De ce se întâmplă acest lucru?

• ---

• O este un punct pe bisectoarea AA' deci este la egală distanță de segmentele de dreaptă AB și AC => [1] distanța de la punctul O la segmentul AB este OP, unde OP ⊥ AB (⊥ este simbolul pentru segmente sau drepte perpendiculare), [2] distanța de la punctul O la segmentul AC este ON, unde ON ⊥ AC și [3] OP ≅ ON.
• O este un punct pe bisectoarea BB' deci este la egală distanță de segmentele de dreaptă AB și BC => [1] distanța de la punctul O la segmentul AB este OP, unde OP ⊥ AB, [2] distanța de la punctul O la segmentul BC este OM, unde OM ⊥ BC și [3] OP ≅ OM.
• Din relațiile de mai sus, rezultă că OM = ON = OP = r, unde r este raza cercului înscris în triunghi

• Pentru a calcula raza cercului înscris triunghiului, împarte aria triunghiului la semiperimetrul acestuia:
• r = ^Aria / _s
• Unde:
• r = raza cercului înscris în triunghi
• s este semiperimetrul triunghiului, deja calculat mai sus

• ---

• De ce această formulă? Cum o demonstrăm?
• Aria triunghiului △ABC = aria △OAB + aria △OBC + aria △OAC = ¹/₂ × OP × AB + ¹/₂ × OM × BC + ¹/₂ × ON × AC = ¹/₂ × r × AB + ¹/₂ × r × BC + ¹/₂ × r × AC = ¹/₂ × r × (AB + BC + AC) = ¹/₂ × r × Perimetrul = ^Perimetrul/₂ × r = Semiperimetrul × r =>
  r = ^Aria / _{Semiperimetrul} = ^Aria / _s

• ---

• r = ²⁴ / ₁₂ = 2

• Intro

• Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment ce trece prin mijlocul acestuia. Orice punct ce aparține mediatoarei se află la egală distanță față de capetele segmentului.
• 

  Mediatoarele și cercul circumscris triunghiului

• În orice triunghi mediatoarele laturilor sunt concurente într-un punct care este centrul cercului ce trece prin vârfurile triunghiului, numit cerc circumscris triunghiului.
• În triunghiul △ABC, OM1 este mediatoarea segmentului BC => BM1 = CM1 = ^BC / ₂ = ^a / ₂, unde "a" este lungimea segmentului BC.
• OM2 este mediatoarea segmentului AC => AM2 = CM2 = ^AC / ₂ = ^b / ₂, unde "b" este lungimea segmentului AC.
• OM3 este mediatoarea segmentului AB => AM3 = BM3 = ^AB / ₂ = ^c / ₂, unde "c" este lungimea segmentului AB.

• ---

• Mediatoarele OM1, OM2 și OM3 se intersectează în punctul O, care este centrul cercului cirmscris triunghiului. De ce se întâmplă acest lucru?

• ---

• O este un punct pe mediatoarea OM1 => BM1 = CM1 = ^a/₂, OM1 ⊥ BC (⊥ este simbolul pentru segmente sau drepte perpendiculare), iar OM1 segment comun => triunghiurile dreptunghice △OBM1 ≅ △OCM1 => OB ≅ OC.
• O este un punct pe mediatoarea OM2 => AM2 = CM2 = ^b/₂, OM2 ⊥ AC, iar OM2 segment comun => triunghiurile dreptunghice △OAM2 ≅ △OCM2 => OA ≅ OC.
• Din relațiile de mai sus, rezultă că OA = OB = OC = R, unde R este raza cercului circumscris triunghiului.

• Pentru a calcula R, raza cercului circumscris triunghiului, aplică formula:
• R = ^{a × b × c} / _{(4 × Aria)}
• Unde:
• a, b și c sunt lungimile celor trei laturi ale triunghiului

• ---

• De ce această formulă? Cum o demonstrăm?
• Teorema sinusurilor stabilește relația dintre lungimile laturilor a, b și c ale unui triunghi, de exemplu △ABC, și sinusurile unghiurilor opuse acestora, ∠A, ∠B și ∠C:
• [1] ^a/_sin(∠A) = ^b/_sin(∠B) = ^c/_sin(∠C) = 2 × R
• R este raza cercului circumscris triunghiului △ABC.
• De asemenea, folosim Formula Trigonometrică a Ariei:, pe care am demonstrat-o mai sus, atunci când am calculat aria:
• [2] Aria = ¹/₂ × b × c × sin(∠A)

• ---

• Din relația [1] putem deduce că:
• [3] sin(∠A) = ^a/_{(2 × R)}
• Înlocuiește sin(∠A) în relația [2]:
• Aria = ¹/₂ × b × c × ^a/_{(2 × R)} = ^{a × b × c}/_{(4 × R)} =>
• R = ^{a × b × c}/_{(4 × Aria)}

• ---

• R = ^{6 × 8 × 10}/_{(4 × 24)} = 5

• 

  Triunghiul △ABC cu lungimile laturilor: BC (a) = 6, AC (b) = 8, AB (c) = 10

Simboluri folosite: + plus,- scădere, × inmultire, / diviziune, = egal, ≈ aproximativ, => implicație logică, ∠ unghi, ∡ unghi măsurat, m(∡A) măsura unghiului, △ triunghi, ⌒ arc de cerc, ⊥ perpendiculară, ≅ congruență, π raportul constant dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia, ° unitatea de măsură a valorii măsurate a unui unghi și se numește grad(e), ∈ aparține, x² x ridicat la a puterea a doua sau x pătrat = x × x, sin(∠A) sinusul unghiului A, cos(∠A) cosinusul unghiului A, arccos(raport) arccosin al raportului dat.

Rezolvă triunghiul LLL, operații similare:

» Rezolvă triunghiul dacă lungimile celor trei laturi ale sale sunt 43, 6 și 38. Calculator triunghi: unghiuri, aria, (semi)perimetru, înălțimi, mediane, raze cercuri

» Triunghiuri rezolvate de vizitatori având lungimile celor trei laturi, operații efectuate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Triunghiuri rezolvate având lungimile celor trei laturi, operații efectuate în luna: August