Cum se rezolvă un triunghi dacă se știu lungimile celor trei laturi ale sale?
Ce este un triunghi?
- Fiind date trei puncte necoliniare A, B, C, se numește triunghi determinat de punctele A, B, C, mulțimea formată de cele trei puncte, împreună cu mulțimea tuturor punctelor segmentelor AB, BC și CA. Vezi alăturat figura cu reprezentarea triunghiului △ABC.
Triunghiul △ABC - Un triunghi este o mulțime de puncte din plan ce alcătuiește un poligon care are trei vârfuri, A, B, C, trei laturi, AB, BC, CA, și trei unghiuri, ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB (sau dacă nu există nicio confuzie, ∠A, ∠B, ∠C).
- Un vârf, de exemplu în cazul nostru, A, este punctul în care două laturi se întâlnesc - AB și AC, cele trei vârfuri A, B, C sunt unite prin trei segmente de dreaptă, AB, BC, CA, numite laturi, care formează trei unghiuri, ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB, a căror sumă este 180° (demonstrăm asta mai jos).
- Laturile triunghiului sunt definite prin lungimea celor trei segmente AB, BC și CA.
- Un triunghi este de obicei desemnat prin vârfurile sale, în ordine alfabetică: △ABC. Dar exact același triunghi poate fi notat și: △ACB, △BAC, △BCA, △CAB, △CBA - adică folosind toate combinațiile formate din cele trei litere.
- În triunghiul △ABC unghiul ∠A se opune laturii BC, și reciproc, latura BC se opune unghiului ∠A. Pentru lungimile laturilor unui triunghi △ABC se folosesc de obicei notațiile: a = BC, b = CA, c = AB.
Triunghiul △ABC și laturile a, b, c - Atunci când toate cele trei laturi au lungimi egale triunghiul se numește triunghi echilateral, în timp ce un triunghi în care doar două laturi au lungimi egale se numește triunghi isoscel. Când laturile unui triunghi au lungimi diferite, acesta este numit triunghi triunghi scalen, sau triunghi oarecare.
Perimetrul și semiperimetrul unui triunghi
- Perimetru: suma lungimii laturilor unui triunghi △ABC se numește perimetrul triunghiului și se notează cu:
PABC = AB + BC + CA = c + a + b. - Semiperimetru: semisuma lungimilor laturilor unui triunghi △ABC se numește semiperimetrul triunghiului și se notează cu:
pABC = (AB + BC + CA)/2 = (c + a + b)/2
Poziția unui punct față de un triunghi
- Un punct se numește punct interior unui triunghi dacă se află în interiorul fiecărui unghi al triunghiului.
- Un punct care nu este interior triunghiului și nu se află nici pe laturile triunghiului se numește punct exterior triunghiului.
Tipuri de triunghiuri din punct de vedere al unghiurilor
- Un triunghi care are un unghi de 90°, sau unghi drept, se numește triunghi dreptunghic. Laturile care formează unghiul drept, AB și CA, se numesc catete. Latura opusă unghiului drept, BC, se numește ipotenuză. Un triunghi nu poate avea mai mult de un unghi drept - pentru că suma celor trei unghiuri ale unui triunghi este de 180°, dacă am avea două unghiuri de 90° ar însemna că doar ele două însumează deja 90° + 90° = 180°, nerămânând nimic pentru al treilea unghi.
Triunghiul dreptunghic △ABC - Un triunghi care are toate unghiurile ascuțite se numește triunghi ascuțitunghic sau scalen ascuțit: ∠A < 90°, ∠B < 90°, ∠C < 90°.
Triunghi scalen ascuțitunghic △ABC - Un triunghi care are un unghi obtuz, adică mai mare decât 90°, se numește triunghi obtuzunghic sau triunghi scalen obtuz: ∠A > 90°.
Triunghi scalen obtuzunghic △ABC - Un triunghi care are toate unghiurile egale, numite și congruente, ∠A = ∠B = ∠C = 180°/3 = 60°, se numește triunghi echilateral. Într-un triunghi echilateral toate laturile sunt deasemenea congruente: AB ≡ BC ≡ CA.
Triunghi echilateral △ABC - Un triunghi care are doar două unghiuri congruente, de axemplu ∠B ≡ ∠C, se numește triunghi isoscel. Într-un triunghi isoscel laturile opuse unghiurilor congruente sunte deasemenea congruente: AB ≡ AC. A treia latură a triunghiului isoscel se numește baza triunghiului isoscel.
Triunghi isoscel △ABC
Reguli specifice triunghiurilor
- 1. Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este întodeauna egală cu 180°. Vezi figura de mai jos și explicațiile aferente.
- Demonstrație: Fie un triunghi △ABC. Construim paralela d prin A la BC și punctele D și E situate pe dreapta d, ca în figură. Punctele D, A și E, fiind situate pe aceeași dreaptă, sunt coliniare. Așadar DE ∥ BC ⇒ (1) ∠ABC ≡ ∠DAB - fiind unghiuri alterne interne pentru DE ∥ BC și secanta AB și (2) ∠ACB ≡ ∠CAE - fiind unghiuri alterne interne pentru DE ∥ BC și secanta AC. Din (1) și (2) obținem relația pentru suma unghiurilor din triunghiul △ABC: ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = ∠DAE = 180°.
Demonstrație: suma unghiurilor în orice triunghi este 180° - 2. Într-un triunghi, suma lungimilor oricăror două laturi trebuie să fie mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi, altfel triunghiul nu ar putea fi construit. În figura următoare se poate vedea că lungimea laturii a este mai mare decât suma lungimilor b și c: a > b + c. În acest caz, triunghiul △ABC pur și simplu nu poate fi construit.
Triunghi imposibil: laturi - 3. Un triunghi poate avea un singur unghi care este mai mare decât sau egal cu 90°. Dacă un triunghi ar avea două unghiuri de cel puțin 90°, nu ar mai rămâne nimic pentru cel de-al treilea unghi, conform regulii nr. 1. În cazul nostru, din moment ce ∡B = 90° și ∠C > 90°, cele doua laturi b și c nu se pot întâlni pentru a forma vârful A al triunghiului △ABC.
Triunghi imposibil: unghiuri 
Unghiuri exterioare4. Se numește unghi exterior unui triunghi unghiul adiacent și suplementar cu un unghi al triunghiului. Oricare triunghi are trei perechi de unghiuri exterioare, șase unghiuri exterioare în total. Fiecare unghi al triunghiului are câte două perechi de unghiuri exterioare, congruente între ele, fiind opuse la vârf: unghiul ∠A are unghiurile exterioare ∠1 și ∠2 - unde ∠1 ≡ ∠2, unghiul ∠C are unghiurile exterioare ∠3 și ∠4 - unde ∠3 ≡ ∠4, iar unghiul ∠B are unghiurile exterioare ∠5 și ∠6, unde ∠5 ≡ ∠6.
Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu suma măsurilor unghiurilor neadiacente cu el, din moment ce ∠A + ∠B + ∠C = 180° și ∠A + ∠1 = 180°, rezultă că: ∡1 = 180° - ∠A și ∡1 = ∠B + ∠C; la fel, ∡2 = 180° - ∠A și ∡2 = ∠B + ∠C; ∡3 = 180° - ∠C și ∡3 = ∠A + ∠B; ∡4 = 180° - ∠C și ∡4 = ∠A + ∠B; ∡5 = 180° - ∠B și ∡5 = ∠A + ∠C; și în final ∡6 = 180° - ∠B și ∡6 = ∠A + ∠C.
Suma măsurilor tuturor unghiurilor exterioare ale unui triunghi este egală cu: ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 2 × ∠1 + 2 × ∠3 + 2 × ∠5 = 2 × (∠1 + ∠3 + ∠5) = 2 × (180° - ∠A + 180° - ∠B + 180° - ∠C) = 2 × (3 × 180° - (∠A + ∠B + ∠C)) = 2 × (3 × 180° - 180°) = 2 × (2 × 180°) = 2 × 360° = 720°.
- 5. Oricare ar fi un triunghi cu două laturi necongruente, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare. Dacă a > b și a > c, atunci înseamnă că ∠A > ∠B și ∠A > ∠C.
Laturii mai mari i se opune unghiul mai mare
Cum rezolvi triunghiul dacă se știu lungimile celor trei laturi?
- Știind lungimile a, b și c ale celor trei laturi ale unui triunghi △ABC, unde a este latura opusă unghiului ∠A, b este latura opusă unghiului ∠B și c este latura opusă unghiului ∠C, fiecare unghi poate fi calculat folosind formulele de mai jos.
Forma rearanjată a Teoremei cosinusului (sau teorema lui Pitagora generalizată)
- Această formulă este folosită pentru a calcula măsura unui unghi din orice triunghi atunci când se știu lungimile tuturor celor trei laturi:
- ∡A = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
- ∡B = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
- ∡C = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
- Exemplu: Știind lungimile laturilor unui triunghi, a = 7, b = 5 și c = 9, calculează unghiurile ∡A, ∡B și ∡C ale triunghiului:
- ∡A =
arccos((52 + 92 - 72) / (2 × 5 × 9)) =
arccos((25 + (9 + 7) × (9 - 7))) / 90) =
arccos((25 + 16 × 2)) / 90) =
arccos((25 + 32)) / 90) =
arccos(57/90) =
arccos(0.6333) =
0.88498643446628 radiani =
50.705987621249 grade - ∡B =
arccos((72 + 92 - 52) / (2 × 7 × 9)) =
arccos((49 + (9 + 5) × (9 - 5))) / 126) =
arccos((49 + 14 × 4)) / 126) =
arccos((49 + 56)) / 126) =
arccos(105/126) =
arccos(0.8333) =
0.58574584298534 radiani =
33.560764670393 grade - ∡C =
arccos((72 + 52 - 92) / (2 × 7 × 5)) =
arccos((49 + (5 + 9) × (5 - 9))) / 70) =
arccos((49 + 14 × -4)) / 70) =
arccos((49 + -56)) / 70) =
arccos(-7/70) =
arccos(-0.1) =
1.6709637479565 radiani =
95.739170477267 grade - Verifică dacă suma unghiurilor ∡A + ∡B + ∡C = 180°.
- ∡A = 50.705987621249°
∡B = 33.560764670393°
∡C = 95.739170477267°
∡A + ∡B + ∡C =
50.705987621249 + 33.560764670393 + 95.739170477267 =
180.00592276891° ≈ 180°