Teorema lui Pitagora, demonstrație folosind pătratul

Teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic. Formulă și demonstrație folosind un pătrat

Teorema lui Pitagora. Formulă. Demonstrație. Exemple de calcul



  • Teorema lui Pitagora

  • În orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei:

  • c2 = a2 + b2
  • Unde:
  • a și b sunt lungimile celor două catete
  • c este lungimea ipotenuzei

  • Teorema lui Pitagora generalizată

  • Teorema lui Pitagora generalizată, numită și Teorema cosinusului, stabilește o relație între lungimea unei laturi a unui triunghi oarecare și celelalte două laturi, cu ajutorul cosinusul unghiului dintre aceste două laturi, astfel:

c2 = a2 + b2 - 2 × a × c × cos(∠C)


Dacă însă măsura unghiului ∠C este m(∡C) = 90° => cos(90°) = 0, formula Teoremei lui Pitagora generalizată devine clasica Teoremă a lui Pitagora:


c2 = a2 + b2



Demonstrația Teoremei lui Pitagora

  • 1. Construim un pătrat cu lungimea laturii L = a + b

  • Plasăm în interiorul acestui pătrat patru triunghiuri dreptunghice congruente, cu lungimile catetelor a și respectiv b, ca în figura alăturată.
  • Lungimea celor patru ipotenuze este egală cu c.
  • Demonstrația Teoremei lui Pitagora cu ajutorul pătratului

    Demonstrația Teoremei lui Pitagora cu ajutorul pătratului

  • Cele patru triunghiuri sunt congruente și măsurile unghiurilor α + β = 90°.
  • Rezultă că măsurile unghiurilor γ = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90°.
  • Rezultă că poligonul de latură c este un pătrat.

  • 2. Calculăm aria patratului mare prin două metode

  • Aria pătratului mare, AriaL, se poate obține cel mai simplu înmulțind laturile sale:

AriaL = L × L = L2 = (a + b)2


Însă aria pătratului mare, AriaL, se poate obține și adunând ariile formelor geometrice ce îl alcătuiesc, adică cele patru triunghiuri dreptunghice congruente și pătratul cel mic, de latură c, format în centru:

AriaL = 4 × 1/2 × a × b + c × c = 2 × a × b + c2


  • 3. Punem cele două relații în egalitate:

  • Ambele ecuații reprezintă aria pătratului mare, AriaL, calculată în moduri diferite, deci sunt egale între ele.

2 × a × b + c2 = (a + b)2


Desfacem paranteza:


2 × a × b + c2 = a2 + 2 × a × b + b2


Eliminăm termenul comun, "2 × a × b", de-o parte și de alta a egalității și obținem Teorema lui Pitagora:


c2 = a2 + b2


  • De ce este importantă Teorema lui Pitagora

  • Teorema lui Pitagora stabilește o relație între lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.
  • Aplicând teorema lui Pitagora putem stabili dacă un triunghi este sau nu dreptunghic.
  • Teorema lui Pitagora are multiple aplicații practice: în geometrie stă la baza trigonometriei, se folosește la calcularea distanțelor dintre două puncte pe o hartă, este baza sistemelor de localizare pe hărțile digitale sau la stabilirea rutelor, se folosește în construcții și arhitectură pentru a construi unghiuri de 90 de grade, iar în fizică și inginerie la descompunerea forțelor sau a vitezelor.

Exemple de calcul folosind teorema lui Pitagora

  • Exemplul 1: calculul ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic

  • Avem un triunghi dreptunghic cu catetele de lungimi a = 3 și b = 4, să calculăm lungimea ipotenuzei, c.

  • c2 =
  • a2 + b2 =
  • 32 + 42 =
  • 9 + 16 =
  • 25 =
  • 52 =>
  • c = 5


  • Exemplul 2: verificăm dacă un triunghi este dreptunghic

  • Avem un triunghi cu lungimile laturilor a = 4, b = 7 și c = 8, să verificăm dacă este un triunghi dreptunghic.
  • Presupunem că triunghiul este dreptunghic, aplicăm Teorema lui Pitagora și vedem dacă se verifică.

  • c2 = 82 = 64
  • a2 + b2 = 42 + 72 = 16 + 49 = 65
  • c2 ≠ a2 + b2

Teorema lui Piitagora nu se verifică, deci triunghiul nu e dreptunghic.