Teorema cosinusului sau teorema generalizată a lui Pitagora

Teorema cosinusului sau teorema generalizată a lui Pitagora într-un triunghi oarecare. Demonstrație

Teorema Cosinusului. Formulă și demonstrația ei



Teorema cosinusului sau teorema generalizată a lui Pitagora

Teorema cosinusului sau teorema generalizată a lui Pitagora afirmă că în orice triunghi △ABC avem aceste trei relații între lungimile laturilor a, b și c și cosinusul unghiurilor ∠A, ∠B sau ∠C:


  • a2 = b2 + c2 - 2 × b × c × cos(∠A)
  • b2 = a2 + c2 - 2 × a × c × cos(∠B)
  • c2 = a2 + b2 - 2 × a × b × cos(∠C)
  • Unde:
  • a = latura triunghiului opusă unghiului ∠A
  • b = latura triunghiului opusă unghiului ∠B
  • c = latura triunghiului opusă unghiului ∠C

Se mai numește și teorema generalizată a lui Pitagora deoarece funcționează pentru toate triunghiurile. Când unghiul ∠A, ∠B sau ∠C este un unghi drept, cos(90°) = 0, făcând ca partea suplimentară să dispară și lăsând clasica - Teoremă a lui Pitagora:


  • a2 = b2 + c2
  • b2 = a2 + c2
  • c2 = a2 + b2.

  • Demonstrația Teoremei Cosinusului

  • Într-un triunghi △ABC oarecare, care nu este dreptunghic, cu lungimile laturilor BC = a, AC = b și AB = c, ducem din vârful A perpendiculara pe latura BC, care intersectează BC în punctul D. Notăm lungimile laturilor AD = ha, BD = a1 și CD = a2, unde a1 + a2 = a.
  • Demonstrația Teoremei Cosinusului

    Demonstrația Teoremei Cosinusului

  • În triunghiul dreptunghic △ABD avem următoarele relații trigonometrice:

  • sin(∠B) = ha/c => ha = c × sin(∠B)
  • cos(∠B) = a1/c => a1 = c × cos(∠B)
  • În triunghiul dreptunghic △ADC aplicăm Teorema lui Pitagora:
  • b2 = ha2 + a22 <=>
  • b2 = ha2 + (a - a1)2
  • Înlocuim în formula de mai sus pe ha și a1:
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + (a - c × cos(∠B))2 <=>
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) + c2 × cos2(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (sin2(∠B) + cos2(∠B)) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2/c2 + a12/c2) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2 + a12)/c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • În triunghiul dreptunghic △ABD ha2 + a12 = c2 (Teorema lui Pitagora) =>
  • (ha2 + a12)/c2 = 1 =>
  • b2 = c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • cos(∠B) = (a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)
  • Aplicăm funcția arccos ambelor părți ale egalității:
  • arccos(cos(∠B)) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)) =>
  • m(∡B) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • Același proces este folosit pentru a calcula măsurile unghiurilor ∠A și ∠C