Teorema cosinusului sau teorema generalizată a lui Pitagora. Formulă și demonstrație

Teorema cosinusului sau Teorema generalizată a lui Pitagora

Teorema cosinusului sau Teorema generalizată a lui Pitagora afirmă că în orice triunghi △ABC avem aceste trei relații între lungimile laturilor a, b și c și cosinusul unghiurilor ∠A, ∠B și ∠C:

• a² = b² + c² - 2 × b × c × cos(∠A)
• b² = a² + c² - 2 × a × c × cos(∠B)
• c² = a² + b² - 2 × a × b × cos(∠C)
• Unde:
• a = latura triunghiului opus unghiului ∠A
• b = latura triunghiului opus unghiului ∠B
• c = latura triunghiului opus unghiului ∠C

Se mai numește și Teorema generalizată a lui Pitagora deoarece funcționează pentru toate triunghiurile. Când unghiul ∠A, ∠B, sau ∠C este un unghi drept, cos(90°) = 0, făcând partea suplimentară să dispară și lăsând clasica Teoremă a lui Pitagora:

• a² = b² + c²
• b² = a² + c²
• c² = a² + b²

» Teorema lui Pitagora, demonstrație folosind pătratul

• Demonstrația teoremei cosinusului

• În orice triunghi △ABC, care nu este dreptunghic, cu laturile BC = a, AC = b și AB = c, ducem din vârful A perpendiculara pe latura BC, care intersectează BC în punctul D. Lungimile laturilor: AD = h_a, BD = a1 și CD = a2, unde a1 + a2 = a.
• 

  Demonstrația teoremei cosinusului

În triunghiul dreptunghic △ABD avem următoarele relații trigonometrice:

În triunghiul dreptunghic △ADC se aplică Teorema lui Pitagora:

Înlocuiește h_a și a1 în formula de mai sus:

În triunghiul dreptunghic △ABD se aplică Teorema lui Pitagora:

Înlocuiește ^{(h_a2 + a12)}/_c² în ultima formulă a lui b²:

Ducând perpendicularele h_b și h_c pe celelalte două laturi ale triunghiului am putea demonstra, în același mod, și celelalte două relații ale Legii cosinusului.

• Când se folosește teorema

• Teorema cosinusului ar putea fi folosită pentru:
• 1. A găsi lungimea necunoscută a unei laturi dintr-un triunghi dacă știm lungimile celorlalte două laturi și măsura unghiului opus (Latură - Unghi - Latură - LUL).
• 2. A găsi măsura necunoscută a unui unghi dintr-un triunghi atunci când cunoaștem toate cele trei lungimi ale laturilor (Latură - Latură - Latură - LLL).
• Pentru a face asta, rescriem Teorema cosinusului pentru a pune în evidență cosinusul unghiului, apoi aplicăm funcția arccos pentru ambele părți ale egalității.
• Deoarece cos și arccos sunt funcții inverse, arccos(cos(∡B)) = ∡B:

» Cosinus și Arccosinus într-un triunghi dreptunghic

Același proces ar putea fi folosit pentru a demonstra formulele pentru măsurile celorlalte două unghiuri, ∠A și ∠C.

• Exemple de calcule

• Exemplul 1: Calculul lungimii unei laturi când se cunosc unghiul opus și celelalte două laturi (LUL)
• Într-un triunghi în care sunt date lungimile a două laturi, a = 5, c = 7, iar măsura unghiului dintre ele este ∡B = 54°, să se calculeaze lungimea laturii b:
• Introducem datele disponibile într-una dintre cele trei ecuații ale Teoremei cosinusului.
• Folosim un calculator pentru a calcula funcția cos(54°).
• b² = 5² + 7² - 2 × 5 × 7 × cos(54°) = 74 - 70 × 0,5877852522925 = 74 - 41,144967660475 = 32,855032339525
• Rădăcina pătrată a lui b² = 32,855032339525 => b = 5,7319309433667 ≈ 5,73
• Exemplul 2: Calculul mărimii unui unghi când toate cele trei lungimi ale laturilor sunt cunoscute (LLL)
• Într-un triunghi unde lungimile laturilor sunt a = 5, b = 5,73 și c = 7, calculează măsura unghiului ∠B:
• Introducem datele disponibile într-una dintre cele trei ecuații ale Teoremei cosinusului, rearanjate pentru a pune în evidență unghiurile.
• Ne amintim: a² - b² = (a + b) × (a - b).
• Folosim un calculator pentru a calcula funcția arccos().
• m(∡B) = arccos(^{(52 + 72 - 5,732)} / _{(2 × 5 × 7)}) = arccos(^{(25 + (7 + 5,73) × (7 - 5,73)} / ₇₀) = arccos(^{(25 + 12,73 × 1,27)} / ₇₀) = arccos(⁴¹ / ₇₀) = arccos(0,5881014285714) = 53,977604748002° ≈ 53,98°.