Formula lui Heron, o demonstrație folosind Teorema lui Pitagora

Formula lui Heron. O demonstrație pas cu pas folosind Teorema lui Pitagora

Formula lui Heron. Demonstrație



  • Formula lui Heron

  • Știind lungimile celor trei laturi ale sale, aria unui triunghi poate fi calculată folosind Formula lui Heron:

  • Aria2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
  • Unde:
  • a, b și c sunt lungimile celor trei laturi ale triunghiului
  • s este semiperimetrul triunghiului s = P/2
  • P este perimetrul triunghiului, P = a + b + c
  • s = (a + b + c)/2

  • Demonstrația pas cu pas a formulei lui Heron, folosind Teorema lui Pitagora

  • Se consideră un triunghi △ABC cu laturile sale BC = a, AC = b și AB = c. Ducem înălțimea de la vârful A, opus laturii "a”, AD ⊥ BC, D ∈ BC, lungimea lui AD = h. AD împarte baza "a” în două segmente, de lungimi BD = x și CD = a - x.
  • Triunghiul △ABC și formula lui Heron

    Triunghiul △ABC și formula lui Heron


Aplicăm Teorema lui Pitagora triunghiului dreptunghic △ADB:


  • h2 + x2 = c2
  • h2 = c2 - x2

Aplicăm Teorema lui Pitagora triunghiului dreptunghic △ADC:


  • h2 + (a - x)2 = b2
  • h2 = b2 - (a - x)2

Echivalăm cele două expresii după h2 și aflăm segmentul "x”:


  • c2 - x2 = b2 - (a - x)2
  • c2 - x2 = b2 - (a2 - 2 × a × x + x2)
  • c2 - x2 = b2 - a2 + 2 × a × x - x2
  • c2 = b2 - a2 + 2 × a × x
  • 2 × a × x = a2 + c2 - b2
  • x = (a2 + c2 - b2)/(2 × a)

Înlocuim "x” înapoi în formula lui h2 și calculăm înălțimea "h”:


  • h2 = c2 - x2
  • h2 = c2 - ((a2 + c2 - b2)/(2 × a))2
  • h2 = c2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a)2

Aducem cele două "fracții" la același numitor


  • h2 = c2 × (2 × a)2/(2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a))2
  • h2 = (c2 × (2 × a)2)/(2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a))2
  • h2 = (c2 × (2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2
  • h2 = ((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2

Descompunem expresia folosind regula diferenței pătratelor, c2 - x2 = (c - x) × (c + x)


  • h2 = (2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2) / (2 × a)2

Aplicăm formulele de calcul prescurtat:
(a2 - 2 × a × c + c2) = (a - c)2
(a2 + 2 × a × c + c2) = (a + c)2


  • h2 = (b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2) / (2 × a)2
  • h2 = (b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2) / (2 × a)2
  • h2 = (b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b) / (2 × a)2
  • h2 = (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (2 × a)2

Înlocuim h2 în formula ariei:


  • Aria = 1/2 × a × h
  • Area2 = 1/4 × a2 × h2
  • Aria2 = 1/4 × a2 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (4 × a2)
  • Aria2 = 1/16 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)

Utilizăm semiperimetrul s = (a + b + c)/2 pentru a rescrie factorii ultimei formule a ariei de mai sus:


  • s = (a + b + c)/2
  • a + b + c = 2 × s
  • b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
  • a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
  • a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)

Rescriem ultima formulă a ariei:


  • Aria2 = 1/24 × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c)
  • Aria2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - Formula lui Heron

  • Exemplu: să calculăm aria unui triunghi folosind formula lui Heron

  • Să calculăm aria unui triunghi cu lungimea laturilor a = 12, b = 17 și c = 14 unități.

  • Aria2 =

  • s × (s - a) × (s - b) × (s - c) =
  • 21,5 × (21,5 - 12) × (21,5 - 17) × (21,5 - 14) =
  • 21,5 × 9,5 × 4,5 × 7,5 =
  • 6.893,4375 ≈
  • 6.893,44

Aria ≈ 83,026727624302 ≈ 83,03 unități pătrate