Cosinus și Arccosinus într-un triunghi dreptunghic

• Definiții

• Definiția 1: Cosinus - Într-un triunghi dreptunghic, cosinusul unui unghi reprezintă raportul dintre latura adiacentă unghiului și ipotenuză.
• cos(∠A) = ^c/_b
• 

  Cosinus și arccosinus

• Definiția 2: Arccos (arcosinus) - Acesta este inversul funcției matematice standard cosinus. În timp ce funcția cosinus ia un unghi și returnează raportul corespunzător, arccos ia un raport și returnează unghiul corespunzător.
• Deoarece cos și arccos sunt funcții inverse, arccos(cos(∡A)) = ∡A. Dacă aplicăm funcția arccos la egalitatea de mai sus:
• cos(∡A) = ^c/_b => arccos(cos(∡A)) = arccos(^c/_b) <=>
• ∡A = arccos(^c/_b) =>
• arccos(^c/_b) = măsura unghiului ∡A

• Cosinusul unghiurilor suplementare

• Definiție: Două unghiuri sunt suplementare dacă suma măsurilor lor este egală cu 180 de grade (π radiani).
• Exemplu: Un unghi de 120° este suplementar celui de 60°, deoarece 120° + 60° = 180°.
• Formula cosinusului unghiurilor suplimentare:

cos(180° - θ) = - cos(θ)

• Cum demonstrăm această formulă?
• Pe sistemul de axe ortogonale avem cercul de centru O și rază r.
• Alegem punctul A pe cerc, astfel încât măsura unghiului făcut de dreapta OA cu axa Ox să fie egală cu θ. C este proiecția punctului A pe axa Ox, adică AC e perpendicular pe Ox. => În triunghiul dreptunghic △AOC, măsura unghiului ∡AOC este m(∡AOC) = θ.
• 

  Cosinusul unghiurilor suplementare

• Alegem punctul B pe cerc, astfel încât măsura unghiului făcut de dreapta OB cu axa Ox să fie egală cu 180° - θ. D este proiecția punctului B pe axa Ox, adică BD e perpendicular pe Ox. => În triunghiul dreptunghic △BOD, măsura unghiului ∡BOD este m(∡BOD) = θ.
• Triunghiurile dreptunghice △AOC și △BOD sunt congruente (unghi, θ, ipotenuza, r) => OC congruent cu OD, OC ≅ OD.
• Cosinusurile unghiurilor ∡AOC și ∡BOC sunt: ​​

Dar OD = - OC (au aceeași lungime, fiind segmente congruente, dar sunt în cadrane diferite din punct de vedere Ox).

• => cos(∡BOC) = cos(180° - θ) = - ^OC/_r = - cos(θ)
• => cos(180° - θ) = - cos(θ)

• Exemple de calcule

• Exemplu 1: Calculul cosinusului
• Într-un triunghi dreptunghic care are măsura unghiului ∡B = 90°, lungimea laturii b = 10 și lungimea laturii c = 6, cosinusul unghiului ∠A se calculează astfel:
• 

  Cosinus și arccosinus

cos(∠A) = ^c/_b = ⁶/₁₀ = ³/₅ = 0,6