Teorema lui Apollonius. Formulă și demonstrație

• Medianele într-un triunghi

• Definiție: O mediană a unui triunghi este un segment de dreaptă care leagă un vârf al triunghiului de punctul de mijloc al laturii opuse.
• Fiecare triunghi are trei mediane care se întâlnesc într-un singur punct central, numit centroid.
• 

  Cele trei mediane ale triunghiului

• În triunghiul △ABC m_a este mediana care leagă vârful A de mijlocul laturii BC, m_b este mediana care leagă vârful B de mijlocul laturii AC și m_c este mediana care leagă vârful C de mijlocul laturii AB Toate medianele se intersectează în punctul G, centroidul.
• Punctul G împarte lungimile celor trei mediane astfel:

• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• Teorema lui Apollonius

• Într-un triunghi △ABC, pentru care se cunosc lungimile laturilor „a”, „b” și „c”, având vârfurile opuse A, B și respectiv C, există o relație între lungimile laturilor și lungimile medianelor m_a, m_b și m_c, unde m_a este trasată din vârful A la latura „a”, m_b este trasată din vârful B la latura „b”, iar m_c din vârful C la latura „c”:

• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²
• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²
• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²

• Demonstrația Teoremei lui Apollonius

• Demonstrăm Teorema lui Apollonius folosind Teorema Cosinusului, numită și Teorema Generalizată a lui Pitagora, care este folosită și pentru a calcula măsurile unghiurilor dintr-un triunghi.
• » Teorema cosinusului sau teorema generalizată a lui Pitagora. Formulă și demonstrație
• 

  Cele trei mediane ale triunghiului Demonstrația Teoremei lui Apollonius

• Fie mediana AM, de lungime m_a, care împarte latura BC, de lungime „a”, în două părți egale, de lungime BM = CM = ^a/₂. De asemenea, lungimile lui AB = c, AC = b, BC = a.
• Fie măsura unghiului ∡AMB = θ. Deoarece suma a două unghiuri de pe o linie dreaptă este egală cu 180°, atunci unghiul adiacent ∡AMC = 180° - θ.

• => cos(180° - θ) = - cos(θ)
• » Cosinus și Arccosinus într-un triunghi dreptunghic

Aplicăm Teorema cosinusului triunghiului △ABM, asigurându-ne că includem și unghiul ∡AMB = θ în formulă:

• c² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(θ)
• => [1] c² = m_a² + (^a/₂)² - m_a × a × cos(θ)

Aplicăm Teorema cosinusului triunghiului △ACM, asigurându-ne că includem și unghiul ∡AMC = 180° - θ în formulă:

• b² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(180° - θ)
• Înlocuim expresia: cos(180° - θ) = - cos(θ)
• Relația inițială de mai sus devine:
• [2] b² = m_a² + (^a/₂)² + m_a × a × cos(θ)

• Adunăm cele două ecuații [1] și [2]. Termenii „m_a × a × cos(θ)" și „- m_a × a × cos(θ)" se anulează reciproc:

b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) - Teorema lui Apollonius

• Exemplu de calcul

• Să calculăm medianele m_a, m_b și m_c ale unui triunghi dacă sunt date lungimile tuturor laturilor: a = 12, b = 10 și c = 8.
• Aplicăm teorema lui Apollonius și calculăm medianele: