Cum se demonstrează formula de calcul a razei cercului circumscris triunghiului?

Raza cercului circumscris unui triunghi. Demonstrația formulei folosind teorema sinusurilor și formula trigonometrică a ariei

Raza cercului circumscris unui triunghi. Formulă de calcul. Demonstrație



  • Formula de calcul a razei cercului circumscris unui triunghi

  • Pentru a calcula R, raza cercului care circumscrie triunghiul △ABC, aplicăm formula:
  • Cercul circumscris unui triunghi, de rază R

    Cercul circumscris unui triunghi, de rază R


  • R = (a × b × c) / (4 × Aria)
  • Unde:
  • a, b și c sunt lungimile celor trei laturi ale triunghiului △ABC
  • R este raza cercului circumscris triunghiului △ABC
  • Aria este aria triunghiului △ABC

» Cum se găsește centrul cercului circumscris unui triunghi


  • Cum se demonstrează formula de calcul a razei cercului circumscris?

  • Folosim Teorema sinusurilor și Formula trigonometrică a ariei unui triunghi pentru a demonstra formula razei de mai sus.
  • 1) Legea sinusurilor stabilește relația dintre lungimile laturilor a, b și c ale triunghiului △ABC și sinusurile unghiurilor opuse, ∠A, ∠B și ∠C:

  • [1] a / sin(∠A) = b / sin(∠B) = c / sin(∠C) = 2 × R
  • Unde:
  • R este raza cercului circumscris triunghiului △ABC
  • a, b și c sunt lungimile celor trei laturi ale triunghiului △ABC
  • ∠A, ∠B și ∠C sunt unghiurile triunghiului △ABC

» Teorema sinusurilor într-un triunghi, demonstrație pe cercul circumscris


  • 2) Formula trigonometrică a ariei afirmă că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor a două laturi ale triunghiului și sinusul unghiului dintre ele:
  • Cum se demonstrează formula de calcul a razei cercului circumscris?

    Cum se demonstrează formula de calcul a razei cercului circumscris?


  • [2] Aria = 1/2 × b × c × sin(∠A)
  • Unde:
  • b și c sunt lungimile a două dintre laturile triunghiului △ABC
  • ∠A este unghiul dintre laturile cu lungimile b și c

» Cum se calculează aria unui triunghi știind lungimile a două laturi și măsura unghiului dintre ele. Formula trigonometrică


Din relația [1], a Teoremei sinusurilor, putem deduce formula pentru sinusul unghiului ∠A:


[3] sin(∠A) = a/(2 × R)


Înlocuim sin(∠A) în relația [2], a formulei trigonometrice a ariei:


  • Aria =
  • 1/2 × b × c × a/(2 × R) =
  • a × b × c/(4 × R)

Calculăm pe R în relația de mai sus, a ariei, și astfel se demonstrează Formula de calcul a razei cercului circumscris unui triunghi:


R = a × b × c/(4 × Aria)