Sinus și Arcsinus într-un triunghi dreptunghic

Sinus și Arcsinus. Ce sunt și cum le calculăm?

Definiții și calcule: sinus și arcsinus



  • Definiții

  • Definiția 1: Sinus - Într-un triunghi dreptunghic sinusul unui unghi reprezintă raportul dintre latura opusă acelui unghi și ipotenuză.
  • sin(∠A) = a/b
  • Sinus și arcsinus

    Sinus și arcsinus

  • Definiția 2: Arcsin (arcsinus) - Acesta este inversul funcției matematice sinus standard. În timp ce funcția sinus primește un unghi și returnează raportul corespunzător, arcsin primește un raport și returnează unghiul corespunzător.
  • Deoarece sin și arcsin sunt funcții inverse, arcsin(sin(∡A)) = ∡A. Dacă aplicăm funcția arcsin la egalitatea de mai sus:
  • sin(∡A) = a/b => arcsin(sin(∡A)) = arcsin(a/b) <=>
  • ∡A = arcsin(a/b) =>
  • arcsin(a/b) = măsura unghiului ∡A

  • Sinusul unghiurilor suplimentare

  • Definiție: Două unghiuri sunt suplimentare dacă suma măsurilor lor este egală cu 180 de grade (π radiani).
  • Exemplu: Un unghi de 110° este suplimentar celui de 70°, deoarece 110° + 70° = 180°.
  • Formula sinusului unghiurilor suplimentare:

sin(180° - θ) = sin(θ)


  • Cum demonstrăm această formulă?
  • Pe sistemul de axe ortogonale xOy avem cercul cu centrul O si raza r.
  • Alegem punctul A de pe cerc astfel încât măsura unghiului făcut de segmentul OA cu axa Ox să fie egală cu θ. C este proiecția punctului A pe axa Ox, adică AC este perpendicular pe Ox. => În triunghiul dreptunghic △AOC, măsura unghiului ∡AOC este m(∡AOC) = θ.
  • Sinusul unghiurilor suplimentare

    Sinusul unghiurilor suplimentare

  • Alegem punctul B de pe cerc astfel încât măsura unghiului făcut de segmentul OB cu axa Ox să fie egală cu (180° - θ). D este proiecția punctului B pe axa Ox, adică BD este perpendicular pe Ox. => În triunghiul dreptunghic △BOD, măsura unghiului ∡BOD este m(∡BOD) = θ.
  • Triunghiurile drepte △AOC și △BOD sunt congruente (unghi, θ, ipotenuză, r) => AC congruente cu BD, AC ≅ BD.
  • Sinusurile unghiurilor ∡AOC și ∡BOC sunt: ​​

  • sin(∡AOC) = sin(θ) = AC/r
  • sin(∡BOC) = sin(180° - θ) = BD/r

    • Dar BD = AC (au aceeași lungime, fiind segmente congruente și sunt în cadrane similare raportat la axa Ox).


    • => sin(∡BOC) = sin(180° - θ) = AC/r = sin(θ)
    • => sin(180° - θ) = sin(θ)

    • Exemple de calcule

    • Exemplu 1: Calculul sinusului
    • Într-un triunghi dreptunghic care are măsura unghiului ∡B = 90°, lungimea laturii b = 10 (latura opusă unghiului ∡B) și lungimea laturii a = 4 (latura opusă unghiului ∡A), sinusul unghiului ∠A se calculează astfel:
    • Sinus și arcsinus

      Sinus și arcsinus


    sin(∠A) = a/b = 4/10 = 2/5 = 0,4


    • Exemplu 2: Calculul arcsinusului
    • Într-un triunghi dreptunghic care are măsura unghiului ∡B = 90°, lungimea laturii b = 10 (latura opusă unghiului ∡B) și lungimea laturii a = 4 (latura opusă unghiului ∡A), măsura unghiului ∡A se calculează astfel:
    • arcsin(sin(∠A)) = măsura unghiului ∡A = arcsin(a/b) = arcsin(4/10) = arcsin(2/5) = arcsin(0,4) = 23,578178478202° ≈ 23,58°.